##  [Transformación Que Preserva la Medida](/es/node/57706) 

 Definición

Una aplicación mesurable T: X → X en un espacio medible (X, Σ, μ) que satisface μ(T^{-1}(A)) = μ(A) para todo conjunto medible A; equivalentemente, la medida empujada T_*μ es igual a μ.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La acción de T deja la medida invariante: un conjunto y su preimagen tienen la misma medida.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

La rotación por un ángulo α en el círculo unidad con la medida de Lebesgue: para cualquier arco A, Leb(T^{-1}(A)) = Leb(A), de modo que la medida de Lebesgue es invariante bajo la rotación.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Afirmar preservación de la medida por la existencia de un punto fijo o por la invariancia puntual de un subconjunto; o aplicar la igualdad de invariancia a conjuntos no mesurables.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permite construir integrales invariantes, aplicar teoremas de recurrencia y estudiar propiedades estadísticas bajo la iteración de T.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Una transformación que dilata o contrae la medida y para la cual μ(T^{-1}(A)) difiere sistemáticamente de μ(A), por ejemplo mapas expansivos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Solo definida para espacios mesurables con una medida dada; no implica ergodicidad, invertibilidad ni preservación de puntos individuales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se contrasta con frecuencia con la cuasiinvariancia (las medidas son equivalentes hasta una densidad) o con la continuidad absoluta de la medida imagen.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una transformación mesurable que deja una medida dada inalterada en todos los conjuntos mesurables, proporcionando el marco invariante para la dinámica medida.