##  [Espacio de Sobolev](/es/node/57716) 

 Definición

Un espacio de Banach (o Hilbert) de clases de equivalencia de funciones en un dominio cuyas derivadas débiles hasta un orden especificado pertenecen a un espacio Lp; habitualmente denotado W^{k,p} o H^{k} para p=2.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Organizar la regularidad funcional por la integrabilidad de las derivadas débiles en lugar de la diferenciabilidad puntual, intercambiando suavidad clásica por control de la variación media.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

H1(Ω) es el cierre de C∞_c(Ω) en la norma ||u||_{H1}= (||u||_{L2}^2+||∇u||_{L2}^2)^{1/2}; las soluciones de formulaciones varacionales de problemas elípticos con condiciones en la frontera pertenecen naturalmente a H1(Ω).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar una derivada débil como derivada puntual en todo punto e imponer trazas clásicas sin verificar teoremas de traza o regularidad adicional.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permite resultados de existencia y compacidad (por ejemplo, los embeddings de Rellich–Kondrachov) y estimaciones a priori para EDP controlando normas Lp de las derivadas en lugar del comportamiento puntual.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Los espacios clásicos C^k exigen derivadas continuas punto por punto de orden k; invertir la idea reemplaza la regularidad basada en integrabilidad por suavidad uniforme punto por punto.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a funciones medibles en dominios con medida de Lebesgue y a órdenes y p para los que existan derivadas débiles; excluye distribuciones no representables por funciones Lp y marcos que requieran regularidad fraccionaria o tipo Besov.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se contrapone a los espacios de Hölder: ambos cuantifican regularidad, pero los espacios de Sobolev enfatizan la integrabilidad de derivadas mientras que los de Hölder enfatizan el módulo de continuidad uniforme.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un espacio de Sobolev es el conjunto de funciones cuyas derivadas débiles hasta cierto orden son Lp-integrables, proporcionando un marco basado en integrabilidad para analizar existencia, estabilidad y aproximación de soluciones de EDP.