##  [Proceso Puntual de Poisson](/es/node/57720) 

 Definición

Un conjunto contable aleatorio de puntos en un espacio medible tal que el número de puntos en subconjuntos medibles disjuntos es independiente y cada recuento sigue una distribución de Poisson con media dada por una medida de intensidad; el proceso se caracteriza por su intensidad.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Aleatoriedad espacial completa: independencia de los recuentos en conjuntos disjuntos junto con estadísticas de Poisson para cada conjunto, determinadas por una medida de intensidad que puede ser constante (homogénea) o espacialmente variable (inhomogénea).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En R^d con la medida de Lebesgue e intensidad constante λ>0, el proceso puntual de Poisson homogéneo satisface para cualquier B acotado P(N(B)=k)=exp(-λ|B|)(λ|B|)^k/k! y, condicionado a N(B)=k, los puntos están uniformemente distribuidos en B.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar un proceso puntual de Poisson para modelar fenómenos con fuerte repulsión o agrupamiento (por ejemplo, electrones con repulsión coulombiana), ignorando interacciones que violan la independencia en conjuntos disjuntos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Admite caracterizaciones funcionales simples (funcional de Laplace, probabilidades de vacío), reglas de afinamiento (thinning) y superposición, y sirve como modelo nulo de aleatoriedad espacial frente al que se prueban modelos con interacción.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un proceso puntual determinantal o de Gibbs codifica interacción (repulsión o atracción) entre puntos; invertir la hipótesis de Poisson reemplaza la independencia por una estructura de correlación especificada.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válido para fenómenos donde los recuentos en conjuntos disjuntos son aproximadamente independientes y la medida de intensidad es σ-finita; excluye procesos con número total fijo (proceso binomial) o aquellos definidos solo por intensidades condicionales que dependen de puntos previos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con el proceso puntual binomial: ambos colocan puntos en una región, pero el proceso binomial condiciona en un número fijo de puntos mientras que el proceso de Poisson tiene recuentos aleatorios con ley de Poisson.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un proceso puntual de Poisson es el modelo canónico de aleatoriedad completa en un espacio medible: recuentos independientes de ley de Poisson en conjuntos disjuntos con distribución determinada por una medida de intensidad.