## [Tensor de Curvatura de Riemann](/es/node/57726) Definición Aplicación multilineal asociada a una conexión afín que mide el fracaso de la conmutatividad de transportes paralelos sucesivos o derivadas covariantes; sus componentes codifican la curvatura intrínseca de un espacio geométrico dotado de métrica. ## Principio Principio La curvatura es la obstrucción a la planitud: valores distintos de cero expresan cómo los paralelogramos infinitesimales no se cierran bajo transporte paralelo y cómo las geodésicas próximas se desvían. ## Demostración Demostración Para la esfera bidimensional estándar incrustada en el espacio euclidiano tridimensional, componentes no nulas en una base de coordenadas esféricas producen curvaturas seccionales positivas y predicen geodésicas convergentes. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar el tensor como un invariante escalar de curvatura o sustituirlo directamente por sus contracciones (por ejemplo, el tensor de Ricci o la curvatura escalar) cuando se necesita información direccional de la curvatura. ## Consecuencia Consecuencia Una vez calculado correctamente determina la curvatura seccional, la desviación geodésica y la holonomía local; la anulación del tensor caracteriza geometrías afines localmente planas. ## Inversión Inversión Curvatura nula en todo lugar corresponde a una conexión plana: el transporte paralelo alrededor de cualquier lazo infinitesimal devuelve los vectores sin cambios. ## Límite Límite Definido para espacios provistos de una conexión afín (a menudo compatible con una métrica); no se reduce por sí mismo a tensores de orden inferior salvo por contracción y no se aplica directamente a grafos discretos sin elegir un análogo de conexión discreta. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se confunde con sus formas contraídas (tensor de Ricci o curvatura escalar): éstas resumen y pierden la dependencia direccional que contiene el tensor completo. ## Síntesis Síntesis El tensor de curvatura de Riemann es el campo multilineal asociado a una conexión afín que captura cuantitativamente cómo el transporte paralelo y las derivadas covariantes no conmutan y, por tanto, codifica la curvatura direccional y la desviación geodésica.