## [Funcional de Acción](/es/node/57733) Definición Aplicación que asigna a historias (configuraciones o campos parametrizados por el tiempo) un número escalar obtenido integrando una densidad lagrangiana a lo largo de la historia; los puntos estacionarios de la acción corresponden a la dinámica admisible mediante derivadas variacionales. ## Principio Principio Las trayectorias dinámicas se caracterizan como puntos estacionarios (extremos) de la acción bajo variaciones permitidas; tomar la primera variación produce las ecuaciones de Euler–Lagrange que gobiernan la evolución. ## Demostración Demostración Para una partícula clásica con lagrangiano L(x,ẋ,t)=T−V, la acción S[trayectoria]=∫ L dt es estacionaria (variación nula) para trayectorias que satisfacen la segunda ley de Newton expresada mediante la ecuación de Euler–Lagrange mẍ=−∂V/∂x. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Afirmar que la acción debe ser siempre un mínimo global; muchas soluciones físicas son puntos silla o sólo estacionarias, y exigir minimización puede excluir soluciones válidas. ## Consecuencia Consecuencia Una formulación correcta proporciona derivaciones compactas de las ecuaciones de movimiento, la inclusión sistemática de restricciones y una vía directa a cantidades conservadas asociadas a simetrías continuas del lagrangiano. ## Inversión Inversión En formulaciones de integral de caminos, las amplitudes físicas proceden de una suma ponderada por fase exp(iS/ħ) sobre historias en lugar de seleccionar una única historia estacionaria, por lo que las trayectorias clásicas estacionarias emergen en el límite semiclasico en vez de ser estrictamente únicas. ## Límite Límite Definida cuando se especifica una densidad lagrangiana o integrando y las historias pertenecen a un espacio de funciones admisible; puede no existir o no ser estacionaria para sistemas disipativos o no-lagrangianos sin extensión. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre las formulaciones variacionales (basadas en la acción) y hamiltonianas (en espacio de fases): son equivalentes en amplias condiciones pero enfatizan distintas estructuras — simetrías variacionales globales frente a flujos locales en espacio de fases. ## Síntesis Síntesis El funcional de acción asigna a cada historia posible un escalar cuyos valores estacionarios bajo variaciones admisibles producen las ecuaciones dinámicas del sistema, proporcionando un marco variacional unificador para derivar leyes de evolución y cantidades conservadas.