## [Dérivada Covariante](/es/node/57739) Definición Una conexión lineal que asigna a cada campo vectorial un operador de derivada direccional que actúa sobre campos tensoriales, compatible con el tipo tensorial y que satisface la regla de Leibniz compensando los cambios de bases locales. ## Principio Principio Extender la noción de derivación direccional a objetos geométricos en una variedad suave introduciendo términos de corrección (coeficientes de conexión) que restauran la transformación tensorial ante cambios de coordenadas. ## Demostración Demostración En una variedad suave riemanniana con conexión de Levi–Civita ∇, la derivada covariante de un campo vectorial V a lo largo de W es ∇_W V = W^i(∂_i V^j + Γ^j_{ik}V^k)∂_j, donde Γ son los símbolos de Christoffel determinados por la métrica. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Emplear derivadas parciales ordinarias en coordenadas curvadas para comparar componentes tensores en puntos distintos sin añadir términos de conexión; ello produce resultados no tensores que dependen de la elección de coordenadas. ## Consecuencia Consecuencia La diferenciación covariante define el transporte paralelo, las geodésicas (vía ∇_{γ̇} γ̇ = 0) y los tensores de curvatura; proporciona el mecanismo para formular ecuaciones diferenciales intrínsecas en espacios curvos. ## Inversión Inversión La derivada direccional ordinaria en un marco cartesiano global coincide con la derivada covariante si los coeficientes de conexión se anulan; en esa elección de coordenadas planas no se necesita corrección. ## Límite Límite Requiere un fibrado vectorial suave y una conexión especificada; no todo operador similar a una derivada sobre secciones es covariante — la compatibilidad con Leibniz y la linealidad sobre funciones suaves fijan la forma de las conexiones admisibles. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se contrapone con la derivada de Lie: ambas miden cambio a lo largo de flujos, pero la derivada de Lie es intrínseca al flujo y no depende de conexión elegida, mientras que la derivada covariante depende de una conexión y respeta reglas de contracción tensorial. ## Síntesis Síntesis La derivada covariante es la regla de derivación basada en una conexión para diferenciar objetos tensoriales a lo largo de direcciones en una variedad suave que preserva el tipo tensorial y codifica transporte paralelo y curvatura.