##  [Medida Empírica](/es/node/57741) 

 Definición

La medida de probabilidad atómica que asigna masa igual 1/n a cada uno de los n puntos de muestra observados, comúnmente escrita μ_n = (1/n)∑_{i=1}^n δ_{x_i}, y que sirve como estimador no paramétrico de la distribución subyacente.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Sustituir una distribución poblacional desconocida por la distribución discreta soportada en la muestra para estimar expectativas y cantidades dependientes de la ley mediante promedios simples de evaluaciones puntuales.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Dado un muestreo i.i.d. x_1,…,x_n de una distribución P en un espacio medible, la medida empírica μ_n asigna masa 1/n a cada x_i; para cualquier función test continua y acotada f, ∫ f dμ_n = (1/n)∑ f(x_i).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar la medida empírica como si fuera una densidad suave sin suavizado o kernelización; usar μ_n directamente en problemas de inferencia que requieren absoluta continuidad conduce a evaluaciones de verosimilitud inválidas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

A medida que crece el tamaño muestral, la medida empírica se concentra alrededor de la ley verdadera, de modo que los promedios muestrales aproximan las expectativas poblacionales; constituye la base del bootstrap y de muchos procedimientos no paramétricos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un estimador de densidad suavizado (por ejemplo, convolución kernel de la medida empírica) reemplaza las masas puntuales por kernels continuos localizados para producir una densidad respecto a una medida de referencia.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida para muestras finitas en espacios medibles y, como estimador, no codifica estructura de modelo paramétrico; excluye versiones suavizadas o regularizadas salvo que explícitamente se convoquen con kernels.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Contrasta con estimadores paramétricos: las medidas empíricas hacen suposiciones mínimas de modelo y capturan la muestra exactamente, mientras que los ajustes paramétricos introducen estructura que puede reducir la varianza a costa de sesgo potencial.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La medida empírica es la representación no paramétrica más simple de datos muestreados, una medida de probabilidad atómica cuyas integrales reproducen promedios muestrales y que converge a la distribución generadora conforme aumenta el tamaño muestral.