##  [Integración Monte Carlo](/es/node/57747) 

 Definición

Un método numérico que estima integrales definidas promediando los valores de la integranda evaluados en puntos muestreados aleatoriamente según una distribución de probabilidad elegida sobre el dominio.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Usar muestreo aleatorio de modo que la media muestral de las evaluaciones de la integranda converja hacia la integral por el teorema de los grandes números; la varianza controla la precisión.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Estimar la integral de f(x)=exp(-|x|) sobre un cubo unidad de alta dimensión tomando N muestras uniformes independientes y calculando la media f(x); aumentar N reduce el error Monte Carlo ≈ O(N^{-1/2}).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar muestreo aleatorio ingenuo en dimensiones muy altas sin reducción de varianza (muestreo por importancia, estratificación) o usar N demasiado pequeño, produciendo estimaciones demasiado ruidosas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una aproximación escalable en dimensión allí donde la cuadratura determinista es inviable; el error disminuye de forma estocástica y puede cuantificarse mediante la varianza muestral.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Los métodos deterministas de cuadratura o interpolación convergen más rápido para integrandas suaves en baja dimensión, pero no suelen escalar a dimensiones muy altas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere que la integranda sea integrable respecto a la ley de muestreo; no es adecuado cuando la integranda tiene varianza infinita bajo la propuesta o cuando la integración simbólica exacta está disponible y es preferible.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Contrasta con la cubatura determinista y con secuencias cuasi-aleatorias (baja discrepancia); la tensión está entre la convergencia estocástica O(N^{-1/2}) y tasas más rápidas de métodos deterministas estructurados.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La integración Monte Carlo aproxima integrales mediante muestreo aleatorio y promedio; cambia la velocidad de convergencia por robustez frente a la dimensión y dominios complicados, con la precisión gobernada por el control de la varianza.