## [Curvatura Gaussiana](/es/node/57775) Definición En un punto liso de una superficie bidimensional, la curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales; equivalente a una medida escalar intrínseca de cómo la superficie se aleja de ser localmente isométrica a un plano. ## Principio Principio La curvatura gaussiana depende únicamente de la primera forma fundamental (la métrica inducida en la superficie) y es invariante bajo isometrías locales; captura la geometría intrínseca más que la forma en que la superficie está embebida en el espacio ambiente. ## Demostración Demostración Una esfera de radio R tiene curvatura gaussiana constante K = 1/R^2 (positiva); una silla de montar estándar tiene curvatura gaussiana negativa; un plano tiene K = 0. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir la curvatura gaussiana con la curvatura media o usarla para medir el doblado extrínseco; aplicarla en puntos no lisos o en variedades de mayor dimensión sin adaptar la noción conduce a conclusiones incorrectas. ## Consecuencia Consecuencia Determina el comportamiento local de las geodésicas y la distorsión de áreas; la integral de la curvatura gaussiana sobre una superficie compacta se relaciona con invariantes topológicos, por lo que la curvatura controla restricciones topológicas globales. ## Inversión Inversión La curvatura media da el promedio de las curvaturas principales y codifica información extrínseca (dependiente de la inmersión), mientras que la curvatura gaussiana es multiplicativa e intrínseca; intercambiarlas invierte la perspectiva intrínseca/extrínseca. ## Límite Límite Se define para superficies riemannianas bidimensionales lisas (embebidas o abstractas) en puntos regulares; no es directamente aplicable a superficies no lisas, curvas o tensores de curvatura en dimensiones superiores sin modificación. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se contrasta con la curvatura seccional o la curvatura media: la curvatura seccional es un análogo en dimensiones superiores definido en planos tangentes de dimensión dos, mientras que la curvatura media es extrínseca — la curvatura gaussiana es el escalar intrínseco para superficies 2D. ## Síntesis Síntesis Un invariante escalar intrínseco en un punto de una superficie lisa igual al producto de las curvaturas principales; gobierna propiedades geométricas locales y, mediante integración, conecta la geometría con la topología.