##  [Laplaciano de Grafo](/es/node/57785) 

 Definición

Matriz derivada de un grafo, normalmente definida como la matriz de grados menos la matriz de adyacencia, que codifica relaciones parecidas a la difusión y diferencias discretas de segundo orden sobre el conjunto de nodos.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Representar la difusión discreta y las formas cuadráticas en grafos de modo que el flujo, la suavidad y el coste de corte se expresen como formas bilineales de los valores nodales.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para un grafo con diagonal de grados D y adyacencia A, el laplaciano combinatorio L = D − A da para un vector x la forma cuadrática x^T L x = suma sobre aristas (x_i − x_j)^2 / 2, que mide la variación a través de las aristas.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar el laplaciano no normalizado sin tener en cuenta una gran heterogeneidad de grados puede sesgar interpretaciones de agrupamiento o difusión hacia nodos de alto grado.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona un operador lineal cuya descomposición modal guía la difusión, el particionado y el suavizado en grafos; muchos algoritmos usan sus modos de baja frecuencia para revelar comunidades.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Una forma normalizada rescalea por los grados de los nodos para igualar la influencia; en cambio, la matriz de adyacencia enfatiza los enlaces directos antes que la suavidad.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Formulado principalmente para grafos finitos no dirigidos; grafos dirigidos, aristas con signo e hiperárboles requieren definiciones alternativas del laplaciano o generalizaciones asimétricas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Frente a la adyacencia: el laplaciano enfatiza diferencias y flujos entre valores nodales vecinos, mientras que la adyacencia enfatiza la fuerza de las conexiones directas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Operador matricial que tiene en cuenta los grados y convierte la variación de valores nodales en un coste cuadrático, actuando como análogo discreto de un operador diferencial de segundo orden para difusión y particionado en grafos.