##  [Método del Gradiente Conjugado](/es/node/57789) 

 Definición

Un solucionador lineal iterativo que construye direcciones de búsqueda mutuamente conjugadas para minimizar la forma cuadrática asociada a una matriz simétrica y definida positiva y su término independiente.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Construir una secuencia de direcciones de búsqueda conjugadas respecto a la matriz del sistema para que las componentes del error se eliminen en subespacios ortogonales, logrando convergencia rápida en problemas bien condicionados.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Aplicado a un sistema simétrico y definido positivo esparso A x = b, el método produce iterados que minimizan el error ponderado por A y, en aritmética exacta, alcanza la solución exacta en a lo sumo n pasos para n incógnitas.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Ejecutar el método en una matriz no simétrica o indefinida sin modificaciones suele provocar fallos o convergencia incorrecta; se requieren variantes especializadas para esos casos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona un solucionador eficiente en memoria con convergencia rápida para problemas grandes y esparcidos cuando la matriz cumple los requisitos de simetría y definitud positiva.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Los métodos de factorización directa (p. ej., eliminación de Gauss) calculan la solución mediante descomposición matricial en lugar de minimización iterativa en subespacios y cambian memoria por pasos aritméticos previsibles.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere que la matriz del sistema sea simétrica y definida positiva; el precondicionamiento suele ser necesario para sistemas mal condicionados y se emplean otros algoritmos fuera de este alcance.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Frente al descenso por el gradiente: éste usa los gradientes como direcciones y puede converger lentamente, mientras que las direcciones conjugadas aceleran la convergencia evitando reducciones repetidas de las mismas componentes de error.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Algoritmo iterativo que, mediante la construcción de direcciones conjugadas y la minimización de la forma cuadrática asociada, resuelve de manera eficiente grandes sistemas lineales simétricos definidos positivos con precondicionamiento adecuado.