## [Acción de un Grupo de Lie](/es/node/57797) Definición Un mapa suave que describe cómo los elementos de un grupo de Lie actúan como transformaciones suaves sobre una variedad diferenciable; es decir, un homomorfismo de grupos del grupo de Lie en el grupo de difeomorfismos de la variedad que es suave tanto en el elemento del grupo como en el punto base. ## Principio Principio Una simetría continua se representa mediante una familia parametrizada y suave de difeomorfismos que preserva la ley de composición del grupo, permitiendo transferir la estructura algebraica del grupo a transformaciones geométricas. ## Demostración Demostración El grupo de rotaciones que actúa sobre la esfera 2 girando cada punto; la acción asigna a cada parámetro de rotación una biyección suave de la esfera y parte la esfera en órbitas (círculos de latitud para algunos subgrupos). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar una acción de un grupo discreto o topológico sin estructura diferenciable como una acción de grupo de Lie, o asumir que cada generador infinitesimal se integra en una acción global sin comprobar la completitud. ## Consecuencia Consecuencia Produce descomposiciones en órbitas, subgrupos de isotropía, campos tensoriales invariantes, cantidades conservadas para dinámicas equivarientes y, con frecuencia, permite formar variedades cociente bajo acciones libres y propias. ## Inversión Inversión Un action de grupo arbitario o una mera permutación en sentido de conjuntos que carece de suavidad y de la estructura de variedad que liga los parámetros del grupo a transformaciones diferenciables. ## Límite Límite Exige un grupo de Lie y una variedad diferenciable con clase de suavidad especificada; excluye acciones puramente topológicas, discretas o no suaves y acciones sobre espacios sin cartas de variedad. ## Tensión semántica Tensión semántica Acción global de un grupo de Lie frente a acción infinitesimal del álgebra de Lie: esta última describe generadores locales en los espacios tangentes y puede no integrarse a una acción global suave. ## Síntesis Síntesis Una acción de grupo de Lie es un mapa suave y que preserva la estructura que realiza elementos del grupo como difeomorfismos de una variedad, traduciendo simetrías algebraicas en transformaciones geométricas y estructuras de órbitas.