##  [Coordenada Homogénea](/es/node/57838) 

 Definición

Un tuple representante usado para describir puntos en el espacio proyectivo; dos tuplas representan el mismo punto proyectivo si difieren por un factor escalar no nulo, posibilitando el tratamiento lineal de los puntos en el infinito.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Equivalencia proyectiva: las coordenadas homogéneas se definen hasta multiplicación por un escalar no nulo, unificando direcciones afines y direcciones al infinito en un marco lineal y haciendo que las transformaciones proyectivas actúen linealmente sobre las tuplas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Un punto afín (x,y) en el plano se representa como (X:Y:1) en coordenadas homogéneas; direcciones y puntos en el infinito tienen la tercera coordenada cero, p. ej. (a:b:0) denota la dirección con pendiente b/a.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar las coordenadas homogéneas como representantes únicos o normalizar en puntos donde la coordenada principal es cero (provocando división por cero) produce interpretaciones afines erróneas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permite una representación algebraica uniforme de intersecciones, envolventes y transformaciones proyectivas, y simplifica el manejo de perspectiva, puntos de fuga y el infinito en geometría y visión por ordenador.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Convertir de nuevo a coordenadas afines mediante la escala para fijar una coordenada a la unidad elimina la representación de puntos en el infinito; al elevar tuplas afines a forma homogénea se restaura la linealidad para operaciones proyectivas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Aplica a la geometría proyectiva y a cálculos que aprovechan la invariancia por escala; no es apropiada cuando importa la escala absoluta de vectores (por ejemplo, longitudes métricas) salvo que se añada estructura adicional.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Cercana a coordenadas barycentricas o afines pero difiere en la equivalencia por escalado y en la representación de puntos en el infinito; las coordenadas homogéneas linealizan transformaciones proyectivas mientras que las afines no representan naturalmente el infinito.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Las coordenadas homogéneas son clases de equivalencia por escala de tuplas que embeben el espacio afín en el proyectivo, permitiendo la manipulación mediante álgebra lineal de puntos, direcciones y puntos en el infinito en un marco coherente.