## [Grupo de Galois](/es/node/57856) Definición El grupo de automorfismos de cuerpo de una extensión de campos E sobre un campo base F que fijan F punto por punto; codifica simetrías algebraicas de la extensión y de las raíces de polinomios en E. ## Principio Principio Los automorfismos que preservan el campo base componen un grupo finito o profinito cuya estructura de subgrupos corresponde (bajo la correspondencia de Galois) a las extensiones intermedias y a las relaciones algebraicas entre raíces. ## Demostración Demostración Para el cuerpo de descomposición de x^3 − 2 sobre Q, el grupo de Galois es isomorfo a S3: permuta las tres raíces respetando las operaciones de campo y los números racionales fijados por todo automorfismo. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir el grupo de Galois con el grupo de permutaciones completo de las raíces formales de un polinomio sin tener en cuenta las relaciones de campo, o tratar permutar coeficientes como automorfismos, puede sobredimensionar simetrías que no son automorfismos de campo. ## Consecuencia Consecuencia El conocimiento del grupo de Galois determina propiedades como resolubilidad por radicales, grados de extensiones intermedias y comportamiento de ramificación en cuerpos numéricos; rasgos del grupo se traducen en propiedades algebraicas del campo. ## Inversión Inversión Considerar automorfismos de anillos o grupos de simetría topológicos de objetos geométricos sin estructura de campo invierte el contexto: esos grupos no controlan en general la resolubilidad algebraica de polinomios. ## Límite Límite Definido solo para extensiones de campos (y generalizable a categorías galoisianas/grupos profinitos); excluye extensiones de anillos arbitrarias y aplicaciones que no preserven inversos multiplicativos o que no fijen el campo base punto por punto. ## Tensión semántica Tensión semántica A veces se confunde con las meras permutaciones de raíces: el grupo de Galois es el subgrupo de permutaciones de raíces realizado por automorfismos de campo compatibles con las relaciones algebraicas y la fijación del campo base. ## Síntesis Síntesis El grupo de Galois es el grupo de simetrías de una extensión de campos formado por automorfismos que fijan el campo base; mediante la correspondencia fundamental de Galois, su retículo de subgrupos refleja el retículo de campos intermedios y dependencias algebraicas.