##  [Desigualdad de Cauchy–Schwarz](/es/node/57858) 

 Definición

Una desigualdad en un espacio con producto interior que afirma que para cualesquiera vectores u y v el valor absoluto de su producto interior está acotado por el producto de sus normas: |⟨u,v⟩| ≤ ||u|| · ||v||.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Se deriva de la positividad del producto interior considerando la no negatividad de ||u − λ v||^2 para un escalar λ apropiado, y geométricamente expresa que la correlación absoluta es como máximo el producto de las magnitudes.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para vectores reales en R^n, desarrollando 0 ≤ ||u − (⟨u,v⟩/||v||^2) v||^2 se obtiene ||u||^2 ||v||^2 − ⟨u,v⟩^2 ≥ 0, por tanto |⟨u,v⟩| ≤ ||u|| ||v||; la igualdad ocurre iff u y v son linealmente dependientes.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la desigualdad en espacios sin producto interior (tratando cualquier forma bilineal como producto interior) o afirmar igualdad sin comprobar dependencia lineal conduce a errores.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Sustenta pruebas de la desigualdad triangular para normas derivadas de productos interiores, conduce a generalizaciones de Hölder en L^p y acota correlaciones y cantidades análogas a la covarianza.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

No existe una desigualdad inversa general de la misma forma; reclamar una cota inferior proporcional al producto de normas falla salvo que exista estructura adicional (p. ej. restricciones angulares).

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válida en espacios con producto interior (dimensión finita o infinita); no se aplica en espacios normados arbitrarios sin producto interior, donde hay que usar Hölder u otras desigualdades específicas de L^p.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se compara con la desigualdad de Hölder: Cauchy–Schwarz es el caso p=2 de Hölder y depende de la estructura de producto interior más que solo de las normas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Cauchy–Schwarz afirma que la magnitud de un producto interior no puede exceder el producto de las longitudes de los vectores, reflejando la proyección geométrica y sirviendo como cota fundamental en análisis y álgebra lineal.