## [Operador Compacto](/es/node/57868) Definición Un operador lineal entre espacios de Banach (o normados) que envía conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos — equivalente a que la imagen de la bola unidad tiene cierre compacto. ## Principio Principio La compacidad de una aplicación lineal en dimensiones infinitas generaliza la aproximabilidad por dimensiones finitas: los operadores compactos se comportan como límites de operadores de rango finito y heredan características espectrales discretas ausentes en operadores acotados generales. ## Demostración Demostración En L^2([0,1]) un operador integral (Tf)(x)=∫_0^1 K(x,y) f(y) dy con K continua es compacto porque envía la bola unidad a una familia equicontinua y acotada punto por punto cuyo cierre es compacto por Arzelà–Ascoli. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que todo operador acotado es compacto (falso en dimensiones infinitas) o tratar la compacidad como preservada bajo límites arbitrarios en topologías más débiles; por ejemplo, el shift unilateral en ℓ^2 es acotado pero no compacto. ## Consecuencia Consecuencia Los operadores compactos tienen propiedades espectrales análogas a matrices: su espectro no nulo es, a lo sumo, numerable con 0 como posible punto de acumulación, y los autovectores asociados a autovalores no nulos distintos generan espacios propios de dimensión finita, lo que posibilita la teoría de Fredholm. ## Inversión Inversión Un operador acotado que no envía conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos (p. ej. el shift bilateral o la identidad en un espacio infinito) muestra el comportamiento inverso: continuo pero sin aproximabilidad por rango finito en norma. ## Límite Límite Se define para aplicacioens lineales entre espacios normados; la noción excluye aplicaciones no lineales (a menos que se linealicen) y depende de la topología inducida por la norma — distintas topologías alteran la compacidad; no todo espacio de Banach admite operadores compactos no triviales. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se confunde con operadores de rango finito: todo operador de rango finito es compacto, pero los operadores compactos pueden ser límites infinitos de operadores de rango finito; la tensión está en la aproximación en norma de operador frente al rango algebraico. ## Síntesis Síntesis Un operador compacto es una aplicación lineal que comprime conjuntos acotados en imágenes relativamente compactas, proporcionando un análogo en dimensión infinita de operadores finito‑dimensionales con estructura espectral discreta y resultados de solvencia potentes.