##  [Operador de Fredholm](/es/node/57872) 

 Definición

Aplicación lineal acotada entre espacios de Banach cuyo núcleo y cokernel son de dimensión finita y cuyo rango es cerrado; su índice es dim(núcleo) menos dim(cokernel).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La propiedad de Fredholm es estable frente a perturbaciones compactas, y el índice es un invariante entero bajo tales perturbaciones.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Un operador integral en L^2 con núcleo suave es un operador de Fredholm: su núcleo y cokernel son finito-dimensionales y el índice puede calcularse con datos en la frontera.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar operador de Fredholm a cualquier operador acotado con rango cerrado sin comprobar la finitud del núcleo o del cokernel.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las ecuaciones T x = y son solucionables salvo por una obstrucción de dimensión finita; la solvencia se reduce a condiciones de compatibilidad finitas y la solución es única módulo ker(T).

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un operador no-Fredholm suele tener núcleo o cokernel de dimensión infinita o rango no cerrado; no admite un índice finito bien definido.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a operadores lineales acotados en espacios de Banach (o de Hilbert); los operadores no acotados requieren condiciones adicionales de cerradura y dominio.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se contrasta frecuentemente con operadores compactos (espectro discreto acumulándose en cero) y con operadores invertibles; ser Fredholm es más débil que ser invertible pero más fuerte que la mera acotación.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un operador de Fredholm es un operador lineal acotado entre espacios de Banach con espacios de defecto finito y rango cerrado, que posee un índice entero estable frente a perturbaciones compactas.