##  [Función Generadora de Cumulantes](/es/node/57909) 

 Definición

La función K(t)=log E[e^{tX}] definida (cuando existe la función generadora de momentos) cuyas derivadas en cero dan los cumulantes de una variable aleatoria X; codifica propiedades aditivas para sumas independientes.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Porque el logaritmo de la MGF convierte productos de MGFs (para variables independientes) en sumas, las derivadas de K en cero producen medidas centrales (cumulantes) que se suman bajo independencia.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para X~N(μ,σ²), K(t)=μ t + (σ²/2) t²; los dos primeros cumulantes extraídos por K'(0)=μ y K''(0)=σ² corresponden a la media y la varianza, y los cumulantes de orden superior son nulos.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar la función generadora de cumulantes cuando la MGF no existe (distribuciones con colas pesadas) o confundir cumulantes con momentos crudos conduce a errores; la existencia es local alrededor de t=0.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una herramienta compacta para obtener cumulantes, estudiar convergencias (mediante control de cumulantes) y simplificar el análisis de sumas de variables independientes porque los cumulantes se suman.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Exponenciar K(t) devuelve la MGF M(t)=E[e^{tX}]; cuando se conoce M, los cumulantes se obtienen de su logaritmo en lugar de de las derivadas de los momentos crudos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida sólo en el intervalo o vecindad de t=0 donde la MGF M(t) existe y es finita; las funciones características (log de E[e^{itX}]) siempre existen pero producen coeficientes tipo cumulante complejos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se contrasta con la MGF y la función característica: la función generadora de cumulantes da cumulantes aditivos mediante el logaritmo de la MGF, mientras que los momentos proceden directamente de la MGF y la función característica evita problemas de existencia.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La función generadora de cumulantes es el logaritmo de la MGF cuyas derivadas en cero producen cumulantes que resumen la forma de la distribución y se suman para sumas independientes.