##  [Aplicación Conforme](/es/node/57911) 

 Definición

Una aplicación diferenciable entre dominios que preserva los ángulos orientados en cada punto donde es diferenciable y tiene derivada no nula; las figuras infinitesimales se escalan y rotan pero no se deforman por cizallamiento.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Semejanza local: en cada punto la aplicación actúa como una transformación de semejanza (una escala local y una rotación), de modo que el ángulo entre dos curvas diferenciables se conserva.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Una transformación de Möbius que envía el disco unidad al semiplano superior es conforme en el plano complejo salvo en sus polos: mapea curvas que se intersectan a curvas con los mismos ángulos de intersección.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar conforme a un homeomorfismo porque preserva ángulos en puntos aislados, o confundir preservación global del área con conformidad.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

La estructura geométrica infinitesimal se conserva salvo por escala y orientación, por lo que funciones armónicas se transforman en funciones armónicas por composición y las características locales de forma se mantienen.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un difeomorfismo que preserva el área pero no los ángulos (por ejemplo, un cizallamiento): conserva el área pero altera los ángulos y las formas infinitesimales.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere diferenciabilidad y derivada no nula donde se afirma la propiedad; en dimensiones mayores que dos las aplicaciones conformes son mucho más rígidas (composiciones de semejanzas e inversiones), y se excluyen las aplicaciones discontinuas o meramente topológicas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Isometría frente a aplicación conforme: una isometría preserva longitudes y ángulos globalmente, mientras que una aplicación conforme preserva ángulos pero puede reescalar longitudes de forma no uniforme.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una aplicación conforme es una transformación diferenciable, localmente de semejanza, entre dominios que preserva ángulos orientados y formas infinitesimales salvo por una escala y rotación dependientes del punto.