##  [Continuidad de Lipschitz](/es/node/57917) 

 Definición

Una función f entre espacios métricos es Lipschitz continua si existe una constante L≥0 tal que para todos x,y la distancia entre f(x) y f(y) es como máximo L veces la distancia entre x e y.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Tasa de cambio acotada: una constante Lipschitz global limita la rapidez con que la función puede cambiar respecto de la métrica de entrada, proporcionando control uniforme sobre las diferencias en las salidas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Un mapa lineal representado por una matriz con norma de operador L es Lipschitz con constante L en el espacio euclidiano: ||Ax−Ay|| ≤ ||A||·||x−y|| para todo x,y.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer continuidad Lipschitz a partir de diferenciabilidad sin una cota uniforme de la derivada, o confundir Lipschitz local con Lipschitz global en un dominio no acotado.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las aplicaciones Lipschitz son uniformemente continuas y preservan sucesiones de Cauchy; en teoría de EDO, una condición Lipschitz local sobre el campo vectorial asegura unicidad de soluciones por iteración de Picard.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Una función meramente continua que presenta pendientes arbitrariamente pronunciadas (p. ej., continua pero ninguna vez diferenciable con oscilación local no acotada): carece de una cota uniforme en la tasa de cambio.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Distingue global frente a local: una función puede ser Lipschitz localmente pero no Lipschitz en un dominio no acotado; la propiedad depende de los espacios métricos elegidos y no exige diferenciabilidad.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Continuidad Hölder versus Lipschitz: Hölder con exponente α∈(0,1) debilita la cota lineal a una ley de potencias, por lo que Lipschitz equivale a Hölder con exponente 1 y es estrictamente más fuerte.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La continuidad de Lipschitz es una cota uniforme sobre la tasa de cambio de una función en un espacio métrico: existe una constante L tal que las distancias de las imágenes nunca exceden L veces las distancias de las entradas, proporcionando fuerte regularidad y estabilidad.