## [Ultrafiltro](/es/node/57919) Definición Un ultrafiltro es un filtro propio maximal sobre un conjunto: una colección de subconjuntos cerrada bajo intersecciones finitas y superconjuntos, que no contiene el conjunto vacío, y tal que para cada subconjunto A o A o su complemento pertenece al ultrafiltro. ## Principio Principio Maximalidad entre filtros: un ultrafiltro extiende la propiedad de intersección finita a una regla decisiva de selección que para cada subconjunto elige la pertenencia o su complemento, comportándose como una medida finitamente aditiva con valores {0,1} sobre la familia de partes. ## Demostración Demostración Dado un punto x en un conjunto X, el ultrafiltro principal en x consiste en todos los subconjuntos de X que contienen x; un ultrafiltro no principal en los naturales (cuya existencia requiere el axioma de elección) contiene todos los conjuntos cofinos y más, determinando límites a lo largo de subsecuelas dirigidas por el ultrafiltro. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar una función finitamente aditiva cualquiera como un ultrafiltro o asumir que los ultrafiltros no principales existen constructivamente sin invocar elección; o usar la selección por ultrafiltro como si fuese única y canónica en conjuntos infinitos. ## Consecuencia Consecuencia Los ultrafiltros proporcionan herramientas de compacidad (compactificación de Stone–Čech), permiten construir ultraproductos y límites no estándar, y convierten propiedades eventualistas en declaraciones de pertenencia definitivas que facilitan argumentos por límite y principios de transferencia. ## Inversión Inversión Un filtro propio que no es maximal: puede ser cerrado por intersecciones y superconjuntos pero fracasa en la dicotomía de que cada subconjunto o su complemento sea seleccionado, por lo que ofrece una selección menos decisiva para límites. ## Límite Límite Definido en conjuntos arbitrarios, pero la existencia de ultrafiltros no principales en conjuntos infinitos depende del axioma de elección; en conjuntos finitos todo ultrafiltro es principal y corresponde a un único punto. ## Tensión semántica Tensión semántica Filtro versus ultrafiltro: los filtros codifican convergencia y ‘bigness’ sin decisividad máxima, mientras que los ultrafiltros, como filtros maximales, se comportan como medidas binarias y confieren principios de selección más fuertes. ## Síntesis Síntesis Un ultrafiltro es un filtro propio maximal en un conjunto que, al seleccionar para cada subconjunto o este o su complemento, actúa como un dispositivo decisivo binario para construcciones de límites y compacidad en topología, teoría de modelos y combinatoria.