##  [Método de Runge–Kutta](/es/node/57974) 

 Definición

Una familia de esquemas numéricos de un solo paso, explícitos e implícitos, para la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias que aproximan la solución combinando evaluaciones ponderadas del miembro derecho dentro de cada paso.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Se avanza de tn a tn+1 computando estimaciones de pendientes intermedias (etapas) en puntos elegidos dentro del paso y combinándolas con pesos para producir un incremento de orden superior; el orden y la estabilidad dependen de los coeficientes de las etapas y de si el esquema es implícito.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

El esquema explícito clásico de orden cuatro calcula cuatro etapas k1=f(tn,yn), k2=f(tn+Δt/2, yn+Δt k1/2), k3=f(tn+Δt/2, yn+Δt k2/2), k4=f(tn+Δt, yn+Δt k3) y fija yn+1 = yn + (Δt/6)(k1+2k2+2k3+k4), produciendo error local O(Δt^4) para problemas suaves.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar un Runge–Kutta explícito de alto orden en un sistema rígido con autovalores grandes de la linealización puede requerir pasos imprácticamente pequeños y causar inestabilidad; omitir control adaptativo de paso ante miembros derechos irregulares conduce al crecimiento del error.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Bien elegido (orden y región de estabilidad), un esquema Runge–Kutta proporciona control de error local y global con implementación directa y puede integrarse en controladores adaptativos de paso para eficiencia.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertido, el enfoque conduce a métodos multipasos que emplean historia previa en lugar de etapas internas; los métodos multipasos cambian evaluaciones internas por dependencia de varios valores pasados de la solución.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias; no es directamente adecuado para problemas de valor en la frontera sin reformulación, y las variantes implícitas requieren resolver no lineales en cada paso.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Métodos competidores son los métodos lineales multipaso, que reutilizan pasos previos para lograr orden pero presentan diferentes restricciones de estabilidad; Runge–Kutta enfatiza evaluaciones por paso para obtener orden y simplicidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Los métodos de Runge–Kutta construyen integradores de un solo paso de orden superior muestreando el operador diferencial dentro de cada paso y combinando esas muestras con pesos para aproximar el flujo exacto equilibrando precisión y estabilidad.