##  [Tensor Métrico](/es/node/57999) 

 Definición

Campo liso en una variedad diferenciable que asigna en cada punto una forma bilineal simétrica y no degenerada sobre el espacio tangente, usada para medir localmente longitudes, ángulos y volúmenes.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Proveer un producto interior puntual sobre vectores tangentes cuya variación suave codifica información geométrica sobre distancias y curvatura.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En R^n euclidiano el tensor métrico se representa en coordenadas cartesianas por la matriz identidad, obteniendo la fórmula estándar para la longitud; en una superficie bidimensional en el espacio tridimensional la métrica inducida se calcula a partir de la primera forma fundamental.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar las componentes en coordenadas como escalares invariantes o suponer definitez positiva cuando el contexto exige una firma indefinida (por ejemplo en modelos relativistas).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Determina las ecuaciones de las geodésicas, el elemento de volumen, la medida de ángulos y operaciones para alzar/bajar índices; cambiar la métrica cambia todas las cantidades dependientes de ella.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Una forma bilineal simétrica degenerada o una conexión sin métrica contrastan con un tensor métrico verdadero: no proporcionan medidas locales de longitud no degeneradas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definido para variedades suaves y campos tensores lisos; no incluye funciones de distancia puramente combinatorias en conjuntos discretos ni métricas generalizadas no suaves sin estructura diferenciable.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se confunde con una función de distancia (noción de espacio métrico) que especifica distancias por pares globalmente; el tensor métrico es una forma bilineal local dependiente de coordenadas que induce una distancia al integrarse sobre curvas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El tensor métrico es la forma bilineal simétrica y suave en una variedad que codifica nociones locales de longitud, ángulo y volumen y sostiene operaciones geométricas como geodésicas y curvatura.