##  [Matriz de Covarianza](/es/node/58026) 

 Definición

Matriz cuadrada cuyo elemento (i,j) es la covarianza entre la i-ésima y la j-ésima componente de un vector aleatorio; codifica la dispersión lineal y la escala mutua de las componentes.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Agrega información de segundos momentos: calcular esperanzas de productos cruzados menos el producto de las esperanzas; la matriz es simétrica y semidefinida positiva, reflejando varianzas y estructura de dependencia lineal.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Dadas n observaciones independientes de dimensión d x₁,…,x_n, la matriz de covarianza muestral S = (1/(n-1)) ∑ (x_i − 9x)(x_i − 9x)^T tiene la entrada S_{jk} igual a la covarianza muestral entre las coordenadas j y k.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Interpretar covarianza nula como independencia total (la covarianza nula no excluye dependencia no lineal) o usar la covarianza muestral sobre series fuertemente no estacionarias sin eliminar tendencias o estacionalidad.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Su uso correcto da direcciones de alta y baja variabilidad, informa estimadores lineales y propagación de errores, define distancias tipo Mahalanobis y parametriza la dispersión de una gaussiana multivariante.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La matriz de precisión (la inversa cuando existe) enfatiza relaciones condicionales y patrones de esparsidad en lugar de covarianzas marginales.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Sólo resume relaciones lineales de segundo orden y requiere momentos segundos finitos; no captura dependencia no lineal ni momentos superiores y puede ser mal condicionada con pocas muestras respecto a la dimensión.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

La matriz de correlación es una forma normalizada de la matriz de covarianza; confusión ocurre al comparar covarianzas dependientes de escala con correlaciones adimensionales.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La matriz de covarianza es la matriz simétrica semidefinida positiva de covarianzas cruzadas que representa de forma compacta la dispersión lineal y las relaciones de escala de una distribución multivariada.