##  [Pequeño Teorema de Fermat](/es/node/58038) 

 Definición

Un enunciado de teoría de números que afirma que para un primo p y un entero a, a^p ≡ a (mod p); equivalentemente, si a no es divisible por p entonces a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Surge del hecho de que el grupo multiplicativo de enteros módulo un primo p es cíclico de orden p−1, de modo que la potenciación respeta el orden del grupo y conduce a estas congruencias.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para p=7 y a=3, 3^6 = 729 ≡ 1 (mod 7), verificando el teorema; si a es múltiplo de p la congruencia a^p ≡ a es trivialmente cierta.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar el teorema para certificar primalidad sin verificar compuestos que satisfacen la congruencia para muchas bases (números de Carmichael) o aplicar la forma reducida módulo un compuesto sin condiciones.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una identidad útil para exponentiación modular empleada en pruebas de primalidad, cálculo de inversos modulares cuando el módulo es primo y en muchos algoritmos de teoría de números computacional y criptografía.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

El teorema de Euler generaliza esta afirmación a módulos compuestos reemplazando p−1 por la función phi de Euler φ(n); invertir la afirmación la debilita hacia enunciados sobre el orden de grupos en anillos finitos arbitrarios.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válido sólo cuando el módulo es primo para la forma con exponente p, o para enteros coprimos a p en la forma p−1; no implica primalidad ni se cumple para módulos compuestos arbitrarios.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión conceptual con el teorema de Euler y los contraejemplos de Carmichael: la congruencia de Fermat es una propiedad fuerte y fácil de comprobar para primos pero insuficiente por sí sola para pruebas de primalidad ante pseudoprimos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una congruencia fundamental que vincula módulos primos y potenciación: las potencias de enteros se reducen de forma predecible módulo primos debido al orden finito del grupo multiplicativo.