## [Homotopía](/es/node/58042) Definición Una deformación continua entre dos aplicaciones continuas (o espacios) parametrizada por un intervalo: una homotopía entre f y g es una aplicación continua H(x,t) con H(·,0)=f y H(·,1)=g, que expresa que f puede deformarse continuamente en g. ## Principio Principio La homotopía capta la equivalencia por deformación: las propiedades invariantes por homotopía son invariantes topológicas gruesas que ignoran la métrica y la estructura a pequeña escala pero preservan la conectividad global y los agujeros. ## Demostración Demostración Un disco es homotópico a un punto mediante la contracción radial H(x,t)=(1−t)x; la inclusión de un círculo en un cilindro es homotópica a una retracción sobre el círculo, mostrando que comparten el mismo tipo de homotopía. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir equivalencia por homotopía con homeomorfismo o suponer que los invariantes de homotopía (por ejemplo, grupos de homotopía) determinan la estructura geométrica fina como la incrustación o la estructura diferenciable. ## Consecuencia Consecuencia La homotopía da lugar a invariantes algebraicos (grupos de homotopía, clases de homotopía) y a una clasificación hasta deformación; permite razonar sobre deformaciones continuas y teoría de obstrucciones en topología y topología algebraica. ## Inversión Inversión El reverso es una equivalencia rígida como el homeomorfismo o la isometría que preserva todos los detalles topológicos o geométricos en lugar de solo las clases de deformación. ## Límite Límite Se aplica a aplicaciones continuas entre espacios topológicos y al concepto de tipo de homotopía; no captura estructuras más finas (suaves, PL, métricas) salvo que se impongan restricciones adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión con la homología: la homología es más fácil de calcular y captura la información de agujeros abelianizada, mientras que los grupos de homotopía son generalmente más potentes pero más difíciles de calcular; elegir uno implica intercambiar capacidad de cálculo por poder discriminante. ## Síntesis Síntesis La homotopía formaliza la idea de deformar continuamente aplicaciones o espacios entre sí, produciendo clases de equivalencia que preservan rasgos topológicos a gran escala e ignoran detalles métricos o de pequeña escala.