## [Matriz Hessiana](/es/node/58094) Definición La matriz cuadrada de derivadas parciales de segundo orden de una función escalar dos veces diferenciable; codifica la curvatura local y el término cuadrático de la expansión de Taylor. ## Principio Principio Reunir las derivadas parciales segundas ∂^2 f / ∂x_i ∂x_j en una matriz simétrica cuando las derivadas mixtas conmutan; usarla para la aproximación cuadrática f(x + h) ≈ f(x) + ∇f(x)⋅h + (1/2) h^T H h. ## Demostración Demostración Para f(x,y) = 3x^2 + x y + sin(y), la Hessiana en (x,y) es [[6,1],[1,-sin(y)]], que determina direcciones y magnitudes de curvatura en ese punto. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la Hessiana en un punto donde la función no es dos veces diferenciable o desatender discontinuidades en las segundas derivadas, produciendo inferencias de curvatura incorrectas. ## Consecuencia Consecuencia Cuando está bien definida, la Hessiana clasifica extremos locales (mediante definitud), orienta la selección de paso en métodos de optimización de segundo orden y describe la curvatura local anisótropa. ## Inversión Inversión El gradiente captura la variación direccional de primer orden pero no aporta información directa sobre curvatura; fiarse solo de gradientes ignora el comportamiento de segundo orden. ## Límite Límite Se aplica a funciones escalares con derivadas parciales segundas existentes en una vecindad; no está definida para funciones no diferenciables ni para funciones de valor vectorial sin un análogo escalar. ## Tensión semántica Tensión semántica Estrechamente relacionada con la Jacobiana para mapas con salida vectorial: la Jacobiana reúne derivadas primeras, la Hessiana las segundas de campos escalares — fuente de confusión si dominio y codominio difieren. ## Síntesis Síntesis La matriz Hessiana es el objeto canónico de las segundas derivadas que empaqueta la curvatura local en una forma cuadrática simétrica, central para el análisis de extremos y la aproximación de segundo orden.