## [Núcleo de Calor](/es/node/58096) Definición La solución fundamental (núcleo integral) de la ecuación del calor (difusión) para un operador elíptico dado; indica la temperatura (o densidad) en un punto y tiempo producida por una fuente puntual unitaria en otro punto. ## Principio Principio Resolver ∂_t u = L u con datos iniciales una delta de Dirac; el núcleo de calor K(t,x,y) satisface u(t,x) = ∫ K(t,x,y) u(0,y) dy y la propiedad de semigrupo K(t+s,x,y)=∫ K(t,x,z)K(s,z,y) dz. ## Demostración Demostración En el espacio euclidiano R^n con L el laplaciano, el núcleo de calor es K(t,x,y) = (4π t)^{-n/2} exp(−|x−y|^2/(4t)), que lisa instantáneamente fuentes puntuales y difunde masa para t>0. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el núcleo de calor para tiempos negativos o emplear su expansión de tiempo corto como descripción global precisa en variedades con geometría no trivial, llevando a conclusiones erróneas. ## Consecuencia Consecuencia Actúa como operador que suaviza y regulariza datos iniciales, codifica información espectral y geométrica del dominio y produce desarrollos de tiempo corto ligados a invariantes de curvatura. ## Inversión Inversión Un propagador para una ecuación hiperbólica (núcleo de ondas) transporta singularidades a velocidad finita, mientras que el núcleo de calor produce un suavizado inmediato con velocidad de propagación infinita. ## Límite Límite Definido para generadores elípticos y para t>0; en variedades las condiciones de contorno alteran el núcleo; no aplicable a dinámicas no difusivas o fuertemente no locales sin un generador de difusión. ## Tensión semántica Tensión semántica Próximo a la función de Green del operador elíptico tras integrar en el tiempo, pero el núcleo de calor depende del tiempo y proporciona evolución en lugar de una inversa estática. ## Síntesis Síntesis El núcleo de calor es el núcleo integral dependiente del tiempo que propaga y suaviza datos iniciales por difusión, reflejando propiedades analíticas del generador y rasgos geométricos del dominio.