##  [Desigualdad de Poincaré](/es/node/58116) 

 Definición

Una desigualdad que acota la norma L^p de una función (tras eliminar un modo rígido como la media o la traza en el borde) por la norma L^p de su gradiente en un dominio, mostrando que los gradientes controlan la oscilación de la función salvo constantes.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Principio de coercividad: en un dominio acotado con restricciones adecuadas (p. ej. media cero o condiciones de Dirichlet) existe una constante C tal que ||u−u_media||_{L^p} ≤ C ||∇u||_{L^p}, indicando que la norma del gradiente controla la función módulo el núcleo del gradiente (constantes).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En un dominio Lipschitz acotado Ω y p∈[1,∞), la desigualdad de Poincaré clásica establece para u∈W^{1,p}(Ω) con ∫_Ω u=0 que ||u||_{L^p(Ω)} ≤ C(Ω,p) ||∇u||_{L^p(Ω)}; se utiliza para obtener coercividad de formas bilineales en formulaciones débiles.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la desigualdad en un dominio no acotado sin modificación, o no eliminar el núcleo (constantes) de modo que el miembro izquierdo pueda ser arbitrariamente grande frente al gradiente, invalida la estimación.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona coercividad en problemas variacionales, compacidad para sucesiones con gradientes acotados, constantes de Poincaré que cuantifican la dependencia geométrica, y es fundamental para pruebas de existencia/unicidad en EDP elípticas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertir la desigualdad afirmaría controlar el gradiente por la norma de la función sola, lo cual es falso en general (una función puede tener pequeña norma L^p pero gradientes fuertemente oscilantes); por tanto, el control gradiente→función es direccional y no simétrico.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válida bajo hipótesis sobre el dominio y las restricciones (acotamiento, conexidad, condiciones de contorno apropiadas o restricción de media cero); las constantes dependen de la geometría del dominio y falla en dominios que carecen de estas propiedades o para funciones fuera de la clase de Sobolev.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Relacionado con las desigualdades de Friedrichs y Sobolev: Friedrichs es una variante para funciones que anulan en una parte del borde; las desigualdades de Sobolev fortalecen a Poincaré mediante incrustaciones de gradientes en normas L^q superiores según la dimensión.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La desigualdad de Poincaré expresa que, en dominios adecuados y tras eliminar modos rígidos, la magnitud en L^p de una función está controlada por la magnitud en L^p de su gradiente: una declaración cuantitativa de coercividad que vincula oscilación y tamaño de derivadas.