## [Ecuación de Kolmogórov Hacia Atrás](/es/node/58128) Definición Una ecuación en derivadas parciales (o integro-diferencial) satisfecha por la evolución hacia atrás de observables esperados para un proceso de Markov: ∂_t u(t,x) = −L u(t,x) con condición terminal u(T,x)=φ(x), donde L es el generador que actúa sobre la variable espacial. ## Principio Principio La ecuación hacia atrás gobierna cómo evoluciona hacia atrás en el tiempo la esperanza condicional de un pago terminal bajo el generador del proceso de Markov; es la dual (en tiempo y en el sentido adjunto) de la ecuación hacia adelante (Fokker–Planck) para densidades. ## Demostración Demostración Para una difusión con generador L = a(x)∂^2_x + b(x)∂_x, la función u(t,x)=E[φ(X_T) | X_t=x] satisface ∂_t u = −L u con u(T,x)=φ(x); esto da fórmulas de valoración y relaciones de programación dinámica. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la ecuación hacia atrás para hacer evolucionar densidades de probabilidad hacia adelante en el tiempo, o usar la convención de signo equivocada para L de modo que la ecuación describa el semigrupo hacia adelante en lugar de expectativas hacia atrás. ## Consecuencia Consecuencia La aplicación correcta produce caracterizaciones PDE de expectativas condicionales, conduce a representaciones de solución vía semigrupos (u(t)=P_{T−t}φ) y sustenta esquemas numéricos para valoración de opciones y control mediante recurrencia hacia atrás. ## Inversión Inversión La ecuación de Kolmogórov hacia adelante (Fokker–Planck) hace evolucionar densidades hacia adelante en el tiempo según el adjunto L^*; proporciona la ley del proceso en lugar de las expectativas condicionales dadas el estado actual. ## Límite Límite Requiere un generador de Markov bien definido y regularidad suficiente de coeficientes y datos terminales; para generadores degenerados o distribucionales hay que interpretar soluciones en sentidos débiles o de viscosidad e imponer condiciones de contorno/terminales adecuadas. ## Tensión semántica Tensión semántica Estrechamente relacionada pero no idéntica a la programación dinámica o las ecuaciones Hamilton–Jacobi–Bellman: la Kolmogórov hacia atrás es lineal (expectativas bajo una dinámica dada), mientras que HJB es no lineal debido a la optimización. ## Síntesis Síntesis La ecuación de Kolmogórov hacia atrás es la EDP lineal que propaga hacia atrás observables terminales mediante el generador de un proceso de Markov, proporcionando acceso analítico y numérico a expectativas condicionales y representaciones por semigrupos.