##  [Descomposición de Hodge](/es/node/58142) 

 Definición

Una separación ortogonal del espacio de formas diferenciales de grado k en una variedad Riemanniana orientada compacta en partes exactas, coexactas y armónicas: toda forma se expresa como dα + δβ + γ con dγ = δγ = 0.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Empleando el Laplaciano de Hodge (Δ = dδ + δd) y la teoría elíptica en variedades compactas, las formas se descomponen ortogonalmente en las imágenes de d y δ y el núcleo finito dimensional de Δ (formas armónicas), dando representantes analíticos de las clases de cohomología de de Rham.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En una esfera riemanniana orientada compacta de dimensión 2, el espacio de 1‑formas se descompone y las 1‑formas armónicas son triviales, lo que refleja la nulidad del primer grupo de cohomología de de Rham H^1(S^2)=0.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que la misma descomposición ortogonal se mantiene sin una métrica riemanniana, en variedades no compactas, o ignorar cuestiones de dominio de operadores no acotados puede llevar a afirmaciones incorrectas sobre representantes armónicos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona representantes canónicos para la cohomología, regularidad elíptica para soluciones de ecuaciones en d y δ, y sustenta muchas herramientas analíticas que enlazan topología y geometría (p. ej. teoremas de índice, teoría de Hodge).

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En la teoría de de Rham puramente algebraica sin estructura analítica existen grupos de cohomología pero no representantes armónicos canónicos ni descomposiciones ortogonales en L^2 que aporte la métrica y la teoría de operadores elípticos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere una métrica riemanniana suave y compactidad adecuada (o condiciones de contorno especificadas) para asegurar la elipticidad y la finitud de los espacios armónicos; en variedades no compactas hay que imponer condiciones de crecimiento o L^2.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre descripciones topo‑algebraicas de la cohomología (clases de de Rham) y representantes armónicos dependientes de la métrica; la descomposición de Hodge se sitúa en su intersección pero añade datos métricos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La descomposición de Hodge es la separación ortogonal inducida por la métrica de las formas diferenciales en partes exactas, coexactas y armónicas en variedades riemannianas compactas, produciendo representantes analíticos de la cohomología topológica y vinculando geometría con topología.