##  [Equilibrio Detallado](/es/node/58161) 

 Definición

Una condición para un proceso de Markov con distribución estacionaria π tal que para cada par de estados i,j los flujos de probabilidad se equilibran: π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, implicando simetría por inversión temporal (reversibilidad).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El equilibrio detallado establece que, bajo la medida invariante π, la tasa de transición en un paso de i a j iguala la de j a i, de modo que las transiciones microscópicas se cancelan en el equilibrio y el proceso es estadísticamente indistinguible de su reverso temporal.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para una caminata aleatoria en un grafo no dirigido con probabilidades de transición P_{ij}=1/deg(i) hacia vecinos, la medida estacionaria π_i ∝ deg(i) satisface π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, mostrando equilibrio detallado y reversibilidad.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que toda distribución estacionaria implica equilibrio detallado; la estacionaridad (πP=π) no exige igualdad de flujos por pares y muchas cadenas estacionarias son no reversibles y tienen corrientes de probabilidad netas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Si se cumple el equilibrio detallado la cadena es reversible, el análisis espectral se simplifica (autoadjunción en L^2(π) ponderado), las expectativas en equilibrio obedecen simetría temporal, y los diagnósticos de convergencia y esquemas de muestreo (p. ej. MCMC) pueden aprovechar la reversibilidad.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Romper el equilibrio detallado produce dinámica irreversible con circulación no nula en el espacio de estados y flujos asimétricos π_i P_{ij} ≠ π_j P_{ji}, lo que puede mejorar el mezclado o producir corrientes sostenidas ausentes en cadenas reversibles.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a cadenas de Markov y procesos de Markov con núcleos de transición bien definidos y una medida invariante; no es aplicable a procesos no markovianos, procesos sin medida invariante, o casos donde las transiciones no son comparables por pares.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se confunde con estacionaridad: la estacionaridad exige balance global de entrada y salida para cada estado, mientras que el equilibrio detallado es una condición por pares más fuerte que implica estacionaridad pero no es implicada por ella.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El equilibrio detallado requiere igualdad de flujos de probabilidad por pares bajo la medida invariante, haciendo al proceso de Markov reversible; es una condición de simetría más estricta que la mera estacionaridad y con profundas consecuencias espectrales y de muestreo.