## [Función Cuasiconvexa](/es/node/58176) Definición Una función f en un dominio convexo es cuasiconvexa si todos sus conjuntos de subnivel {x : f(x) ≤ alpha} son convexos para todo alpha; equivalentemente, f(tx + (1-t)y) ≤ max{f(x), f(y)} para t en [0,1]. ## Principio Principio Generaliza la convexidad conservando la convexidad de la geometría de los subniveles en lugar de desigualdades de interpolación lineal; captura comportamientos unimodales o en meseta manteniendo la estructura de mínimo global. ## Demostración Demostración La función por tramos f(x)=1 para x≤0 y f(x)=x+1 para x>0 en R tiene subniveles convexos (intervalos) y es cuasiconvexa pero no convexa porque no satisface la cota de Jensen en el punto de quiebre en 0. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la cuasiconvexidad implica que aplican todas las herramientas de optimización convexa (p. ej. garantías de descenso de subgradientes); los problemas cuasiconvexos pueden carecer de las mismas propiedades de dualidad y suavidad que los convexos. ## Consecuencia Consecuencia La cuasiconvexidad asegura que cualquier mínimo local sea global en un dominio convexo y que los métodos por niveles y ciertas estrategias de bisección sigan siendo válidos para la optimización global. ## Inversión Inversión Las funciones convexas son una subclase estricta: la convexidad impone desigualdades en combinaciones lineales (Jensen) y condiciones de segundo orden más fuertes; sustituir '≤ max' por '≤ media ponderada' da convexidad. ## Límite Límite Definida en dominios convexos y relativa a la convexidad de los subniveles; no implica diferenciabilidad, convexidad estricta ni todo el conjunto de resultados de dualidad convexa; no equivale a cuasiconcavidad. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre cuasiconvexidad y convexidad en el diseño de algoritmos: algunas garantías de descenso se mantienen, pero las tasas, formulaciones duales y teoremas de separación son más débiles o ausentes para funciones cuasiconvexas. ## Síntesis Síntesis Una función cuasiconvexa es la que tiene subniveles convexos: generaliza la convexidad preservando la geometría del mínimo global mientras permite un comportamiento puntual no convexo que aún admite ciertas estrategias de optimización global.