##  [Laplaciano de Grafo (Laplaciano Combinatorio)](/es/node/58180) 

 Definición

Un operador lineal sobre funciones definidas en los vértices de un grafo, típicamente dado por L = D − A donde D es la matriz diagonal de grados y A la matriz de adyacencia; codifica difusión discreta y suavidad local en el grafo.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Al actuar sobre una función en los vértices, el laplaciano calcula el flujo neto (diferencia entre el valor en un vértice y el promedio de sus vecinos) y su descomposición espectral organiza modos de variación, conectividad y velocidades de difusión.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para un grafo no dirigido ponderado, (Lf)(i)=∑_j w_{ij}(f(i)−f(j)); la multiplicidad del valor propio cero coincide con el número de componentes conexas y el segundo menor valor propio (conectividad algebraica) cuantifica los cuellos de botella.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar el laplaciano no normalizado sin compensar la heterogeneidad de grados cuando se comparan grafos con grados de vértice muy dispares; esto puede distorsionar el clustering espectral y la interpretación de la difusión.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Los valores y vectores propios del laplaciano aportan información sobre conectividad, tiempos de mezcla de paseos aleatorios, y pueden emplearse para reducción de dimensionalidad, suavizado y particionado de grafos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Contrastar con la matriz de adyacencia, que registra conexiones por pares sin ponderar diferencias; el espectro de adyacencia enfatiza patrones de conexión directa en lugar de modos suaves.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

El laplaciano combinatorio estándar se define para grafos finitos no dirigidos con pesos no negativos; grafos dirigidos, pesos con signo o grafos infinitos requieren definiciones modificadas (laplaciano normalizado, laplaciano de paseo aleatorio u operadores en ℓ^2).

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con la curvatura discreta o operadores basados en resistencia: el laplaciano mide diferencia local y difusión, mientras que la distancia de resistencia enfatiza la resistencia efectiva global y puede producir señales espectrales distintas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El laplaciano de grafo L = D−A es el operador discreto de segunda diferencia sobre funciones de vértices; su acción codifica la desviación local respecto a la media de vecinos y su espectro organiza conectividad, difusión y suavidad en el grafo.