## [Variedad Simpléctica](/es/node/58194) Definición Una variedad suave de dimensión par equipada con una 2-forma diferencial cerrada y no degenerada (la forma simpléctica) que proporciona un emparejamiento bilineal en cada espacio tangente y es la estructura geométrica de la mecánica Hamiltoniana. ## Principio Principio La no degeneración de la 2-forma da un isomorfismo canónico entre tangente y cotangente; la clausura (dω=0) asegura coordenadas canónicas locales (teorema de Darboux) y propiedades de conservación para los flujos hamiltonianos. ## Demostración Demostración El espacio de fases estándar R^{2n} con coordenadas (q,p) y forma ω = Σ_i dp_i ∧ dq_i es una variedad simpléctica; las ecuaciones de Hamilton se obtienen por contracción de ω con el campo hamiltoniano. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar simpléctica a cualquier variedad con una forma de volumen: las formas de volumen son de grado máximo y no proporcionan la 2-forma cerrada no degenerada requerida. ## Consecuencia Consecuencia Localmente toda variedad simpléctica admite coordenadas donde la forma toma la forma estándar dp∧dq, lo que implica ausencia de invariantes escalares locales de la forma y rigidez de las transformaciones canónicas (simpléctomorfismos). ## Inversión Inversión Al perder la no degeneración se obtiene una 2-forma presimpléctica (cerrada pero degenerada) cuyo núcleo soporta restricciones; al perder la clausura no se tiene la propiedad de Darboux. ## Límite Límite Se aplica a variedades suaves de dimensión par; excluye variedades de dimensión impar y contextos sin una 2-forma cerrada no degenerada (p. ej., estructuras puramente conservadoras de volumen o variedades de Poisson con hojas singulares). ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se contrasta con variedades de Poisson: una variedad simpléctica tiene una 2-forma no degenerada definida globalmente, mientras que una estructura de Poisson puede ser degenerada o singular y proporciona un bivector en lugar de una forma. ## Síntesis Síntesis Una variedad simpléctica es una variedad suave de dimensión par con una 2-forma cerrada y no degenerada que localmente se reduce a dp∧dq y constituye el marco geométrico de la dinámica Hamiltoniana.