## [Teorema de Parada Opcional](/es/node/58225) Definición Un resultado en la teoría de martingalas que afirma que, bajo condiciones de integrabilidad o acotamiento especificadas sobre un tiempo de parada τ y una martingala (M_t), la esperanza en el tiempo de parada es igual a la esperanza inicial: E[M_τ] = E[M_0]. ## Principio Principio La propiedad de juego justo de una martingala se conserva al detenerla siempre que la regla de parada no permita una acumulación descontrolada de varianza o una espera no acotada sin integrabilidad suficiente. ## Demostración Demostración Si M_t es una martingala y τ está acotada casi seguramente por una constante T, entonces por muestreo opcional se tiene E[M_τ]=E[M_0]; por ejemplo, una caminata aleatoria justa detenida en un tiempo de parada acotado tiene ganancia neta esperada cero. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar el teorema sin verificar las condiciones (por ejemplo, usar un tiempo de parada no acotado con incrementos no acotados) puede llevar a conclusiones incorrectas; contraejemplos clásicos muestran que E[M_τ] puede diferir de E[M_0]. ## Consecuencia Consecuencia Justifica muchos argumentos de parada en juegos justos y es una herramienta fundamental para probar identidades e desigualdades que involucran procesos detenidos. ## Inversión Inversión Si fallan las condiciones de integrabilidad/acotamiento, la parada opcional puede fallar y la parada puede cambiar sistemáticamente la esperanza, por lo que detener puede introducir sesgo en lugar de preservar la equidad. ## Límite Límite Requiere una filtración, una martingala adaptada y un tiempo de parada; condiciones admisibles incluyen τ acotada, integrabilidad uniforme de M_{t∧τ} o dominación integrable — los casos fuera de estas condiciones quedan excluidos. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre parar casi seguramente y la preservación de la esperanza: la finitud casi segura de τ por sí sola no garantiza E[M_τ]=E[M_0] sin control adicional de integrabilidad. ## Síntesis Síntesis El teorema de parada opcional afirma que la esperanza de una martingala se conserva en un tiempo de parada cuando se cumplen condiciones apropiadas de acotamiento o integrabilidad, formalizando cuándo detener un juego justo sigue siendo justo.