##  [Matriz Adjunta (Adjugada)](/es/node/58249) 

 Definición

La traspuesta de la matriz de cofactores de una matriz cuadrada A, denotada adj(A), que satisface adj(A)·A = det(A)·I y proporciona una fórmula clásica de la inversa cuando el determinante es invertible.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Usar menores y cofactores para construir una matriz que, al multiplicarse por la original, da el determinante por la identidad; esto enlaza determinantes, menores e inversión algebraicamente.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para A = [[a,b],[c,d]] la adjugate es adj(A) = [[d, -b],[-c, a]] por lo que adj(A)A = (ad−bc)I; cuando ad−bc ≠ 0 la inversa es A^{-1} = (1/(ad−bc)) adj(A).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar adj(A) como inversa cuando det(A)=0; adj(A) aún existe pero multiplicada por A da cero por la identidad y no se obtiene inversa, por lo que resolver sistemas lineales requiere métodos alternativos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona expresiones algebraicas explícitas para inversas sobre cuerpos donde det(A) es invertible y produce identidades que relacionan menores, cofactores y determinante útiles en cálculo simbólico y manipulaciones algebraicas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Inversa por eliminación por filas (Gauss) calcula A^{-1} sin formar cofactores explícitamente y se adapta mejor a contextos numéricos y a procedimientos de regularización de singularidades.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida para todas las matrices cuadradas sobre un anillo conmutativo mediante cofactores, pero la adjugada da una inversa sólo cuando el determinante es una unidad en el anillo; en anillos no conmutativos o con determinante singular falla su papel como inversa.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Adjugada vs inversa: la adjugada es una construcción algebraica de cofactores siempre definida para matrices cuadradas, mientras que la inversa existe sólo si el determinante es invertible — confundirlas oculta esta condición de existencia.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La adjugada es la matriz transpuesta de cofactores que codifica algebraicamente menores y determinante y, escalada cuando el determinante es invertible, entrega la inversa; en caso contrario permanece como matriz relacionada con el determinante sin función de inversa.