##  [Teorema del Punto Fijo de Banach](/es/node/58253) 

 Definición

En un espacio métrico completo, toda aplicación que sea una contracción (reduce las distancias por un factor uniforme estrictamente menor que uno) tiene un punto fijo único, y la iteración de la aplicación desde cualquier punto inicial converge geométricamente a ese punto fijo.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Una contracción uniforme produce una sucesión de iterados de Cauchy porque las distancias sucesivas se reducen por una razón constante; la completitud garantiza que esta sucesión converge a un punto que debe ser un punto fijo.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En la recta real con la métrica |·|, la aplicación f(x) = (x+2)/3 es una contracción con factor 1/3; partiendo de cualquier x_0 los iterados x_{n+1}=f(x_n) convergen a ritmo geométrico al punto fijo único x=1.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a una aplicación con constante de Lipschitz igual a uno o a un espacio no completo esperando una convergencia garantizada o la unicidad de un punto fijo.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona existencia y unicidad del punto fijo y un método iterativo explícito con cotas de error, constituyendo la base de muchos algoritmos numéricos para búsqueda de raíces y ecuaciones funcionales.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Resultados topológicos de punto fijo (p. ej., Brouwer o Schauder) pueden aportar existencia sin contracción y por tanto sin unicidad ni garantías de convergencia iterativa simple.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere una constante de contracción global estrictamente menor que uno en un espacio métrico completo y una aplicación de valor único y continua; las contracciones locales o aplicaciones multivaluadas deben tratarse con precaución o hipótesis adicionales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Contrasta con teoremas generales de punto fijo que dependen de compacidad o continuidad: Banach ofrece convergencia constructiva y unicidad bajo hipótesis fuertes de contracción, mientras otros cambian eso por resultados de existencia más débiles.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema del punto fijo de Banach afirma que una contracción uniforme en un espacio métrico completo produce un punto fijo único y provee una iteración convergente, controlada cuantitativamente, para calcularlo.