## [Multiplicidad Algebraica (de un Valor Propio)](/es/node/58255) Definición La multiplicidad algebraica de un valor propio λ de un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita es su multiplicidad como raíz del polinomio característico det(A − λI). ## Principio Principio Cuenta cuántas veces aparece un valor propio algebraicamente en la ecuación característica y restringe los tamaños de los bloques de Jordan asociados a ese valor propio. ## Demostración Demostración Para A = [[λ,1],[0,λ]] el polinomio característico es (λ − λ)^2, por lo que λ tiene multiplicidad algebraica 2; la matriz tiene un único bloque de Jordan de tamaño 2, mostrando que la multiplicidad algebraica excede a la multiplicidad geométrica (1). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la multiplicidad algebraica es igual al número de vectores propios linealmente independientes (multiplicidad geométrica) en casos no diagonalizables; o aplicar la noción sin cambios a operadores de dimensión infinita sin matizar con teoría espectral. ## Consecuencia Consecuencia Conocer las multiplicidades algebraicas determina el tamaño total de los espacios de eigenvectores generalizados y, junto con las multiplicidades geométricas, fija la forma de Jordan y el grado del polinomio mínimo. ## Inversión Inversión La multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio propio ker(A − λI); siempre es ≤ multiplicidad algebraica y coincide con ella exactamente cuando el operador es diagonalizable en λ. ## Límite Límite La definición requiere un polinomio característico: es intrínseca para operadores de dimensión finita sobre cuerpos donde el polinomio se factoriza (habitualmente cuerpos algebraicamente cerrados); para espectros continuos u operadores en espacios infinitos la noción se reemplaza por conceptos de multiplicidad espectral. ## Tensión semántica Tensión semántica Multiplicidad algebraica frente a multiplicidad espectral/medida: la multiplicidad algebraica es un conteo discreto de raíces en dimensión finita, mientras que la multiplicidad espectral en análisis funcional describe la multiplicidad de subespacios invariantes asociados a componentes del espectro continuo. ## Síntesis Síntesis La multiplicidad algebraica mide cuántos factores (λ − λ0) aparecen en el polinomio característico, determina el número total de vectores propios generalizados y restringe la estructura de bloques de Jordan; está relacionada pero es distinta de la multiplicidad geométrica.