## [Campo Vectorial Conservativo](/es/node/58273) Definición Un campo vectorial F en una región es conservativo cuando existe un potencial escalar φ tal que F coincide con el vector de derivadas parciales de φ; equivalentemente, los integrales de línea de F dependen solo de los puntos finales y no de la trayectoria dentro de la región. ## Principio Principio La conservatividad caracteriza campos diferenciales exactos cuya circulación alrededor de lazos cerrados se anula en dominios simplemente conexos, indicando que diferenciales locales se integran a un potencial global. ## Demostración Demostración En electrostática en una región estacionaria, el campo eléctrico (despreciando variaciones temporales) es conservativo: viene dado por la derivada espacial de un potencial electrostático y su integral entre dos puntos es independiente de la trayectoria. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Concluir que un campo es conservativo a partir de la condición local rot F = 0 sin comprobar la topología del dominio: la ausencia local de rotación no implica necesariamente un potencial global en dominios con agujeros. ## Consecuencia Consecuencia La identificación correcta conduce a un potencial escalar, cálculos de trabajo independientes de la trayectoria y simplificaciones en problemas de contorno al reducir ecuaciones vectoriales a una ecuación escalar para el potencial. ## Inversión Inversión Un campo no conservativo (rotacional), donde la circulación en lazos cerrados puede no ser nula y el trabajo depende de la trayectoria, como la fuerza de Lorentz debida a un campo magnético sobre una carga en movimiento. ## Límite Límite Requiere suavidad suficiente y considerar la conectividad del dominio; en regiones no simplemente conexas se necesitan pruebas adicionales y algunos campos sin rotación local pueden no ser conservativos globalmente. ## Tensión semántica Tensión semántica Conservativo frente a irrotacional: 'irrotacional' suele denotar la nulidad local del rotacional, mientras que 'conservativo' exige la existencia de un potencial global; ambas nociones coinciden bajo hipótesis topológicas adecuadas. ## Síntesis Síntesis Un campo vectorial conservativo es un campo diferencial exacto que proviene globalmente de un potencial escalar, de modo que los integrales dependen solo de los extremos y la circulación en lazos cerrados se anula en el dominio permitido.