##  [Subgradiente](/es/node/58316) 

 Definición

Un vector que generaliza el gradiente para una función convexa (posiblemente no diferenciable) en un punto: un subgradiente g en x satisface f(y) ≥ f(x) + g·(y−x) para todo y del dominio; el conjunto de tales g es el subdiferencial.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los subgradientes definen hiperplanos de soporte al epígrafe de una función convexa y proporcionan condiciones óptimas de primer orden y direcciones de descenso cuando no existen derivadas clásicas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para f(t)=|t| en t=0 el subdiferencial es el intervalo [−1,1]; cualquier g en [−1,1] cumple |y| ≥ 0 + g·(y−0) para todo y, ilustrando cómo la no diferenciabilidad se maneja con un conjunto de subgradientes válidos.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar algoritmos basados en subgradientes sin supuestos de convexidad o interpretar cualquier pendiente unilateral en un punto no diferenciable como subgradiente válido para funciones no convexas conduce a afirmaciones de descenso incorrectas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Aplicados correctamente en optimización convexa, los subgradientes proporcionan criterios de optimalidad necesarios y suficientes (0 en el subdiferencial) y sustentan métodos iterativos (descenso por subgradiente) que convergen bajo reglas de tamaño de paso adecuadas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

El gradiente clásico es el subgradiente único en un punto donde la función es diferenciable; a la inversa, un subdiferencial singleton implica la diferenciabilidad de una función convexa en ese punto.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Formulado principalmente para funciones convexas en dominios convexos; nociones generalizadas (Clarke, subgradientes limitantes) se extienden a ciertos entornos no convexos pero con distintas reglas de cálculo e interpretaciones.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre el subgradiente convexo y los gradientes generalizados para funciones no convexas (Clarke, Mordukhovich): coinciden en el caso convexo pero difieren en la estructura del conjunto y en las propiedades de cálculo en análisis no convexo.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un subgradiente es un vector de soporte que sustituye al gradiente para funciones convexas no diferenciables, formando un subdiferencial que aporta condiciones de optimalidad y métodos de primer orden para la optimización convexa nonsmooth.