## [Descomposition de Helmholtz](/es/node/58322) Definición La descomposición de Helmholtz expresa un campo vectorial suficientemente regular en un dominio adecuado (p. ej. R^n con decaimiento en el infinito o un dominio acotado con condiciones de contorno) como suma de un campo irrotacional (gradiente) y un campo solenoidal (divergencia nula), posiblemente más una componente armónica dependiente de la topología y condiciones de contorno. ## Principio Principio Es una proyección ortogonal en L^2 sobre el cierre de los campos gradiente y el núcleo de la divergencia, derivada de la teoría elíptica (ecuaciones de Poisson) y de la teoría de Hodge en el marco suave. ## Demostración Demostración Para un campo vectorial suave de soporte compacto v en R^3 se construye un potencial escalar φ resolviendo Δφ = div v y un potencial vectorial A resolviendo ΔA = −curl v para obtener v = ∇φ + curl A con div(curl A)=0 y curl(∇φ)=0. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir una descomposición global sin comprobar la regularidad del dominio, las condiciones de contorno o la topología (p. ej. en un dominio multiplemente conectado pueden existir campos armónicos no triviales), lo que conduce a potenciales no únicos o inexistentes. ## Consecuencia Consecuencia La descomposición separa el flujo en partes compresibles (potenciales) e incompresibles (solenoidales), fundamental en dinámica de fluidos, electromagnetismo y en resolutores numéricos que tratan explícitamente las restricciones de divergencia. ## Inversión Inversión La descomposición de Hodge generaliza Helmholtz a k-formas en variedades riemannianas, reemplazando gradiente/rot/div por derivada exterior, codiferencial y formas armónicas; la inversión es la especialización a campos vectoriales en dominios euclidianos. ## Límite Límite Requiere supuestos de regularidad elíptica: suficiente suavidad y decaimiento o condiciones de contorno especificadas; en dominios acotados hay que incluir términos de frontera y, posiblemente, un espacio armónico de dimensión finita determinado por la topología. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe una tensión entre la descomposición constructiva basada en Poisson de Helmholtz y las descomposiciones espectrales basadas en Fourier: ambas dividen campos pero difieren en localidad, manejo de fronteras e interpretación en bases. ## Síntesis Síntesis La descomposición de Helmholtz establece que, con la regularidad y condiciones de contorno adecuadas, cualquier campo vectorial puede separarse ortogonalmente en una parte de gradiente irrotacional y una parte solenoidal de divergencia nula (más modos armónicos dependientes de la topología), permitiendo tratar por separado comportamientos compresibles e incompresibles.