## [Complejo Simplicial](/es/node/59181) Definición Una estructura combinatoria dada por una colección K de conjuntos finitos (llamados símplices) sobre un conjunto de vértices V tal que cada singleton de vértice pertenece a K y K está cerrada bajo la toma de subconjuntos no vacíos: si σ∈K y τ⊆σ entonces τ∈K. Los símplices se organizan por dimensión (|σ|−1). ## Principio Principio Construir información topológica a partir de bloques combinatorios (vértices, aristas, triángulos, etc.) exigiendo el cierre por caras de modo que la intersección de símplices sea nuevamente un símplice (una cara). ## Demostración Demostración Un triángulo con sus tres aristas y tres vértices es un complejo simplicial de dimensión 2. El complejo de cliques de un grafo toma cada subgrafo completo como símplice; la frontera de un tetraedro da un 2-complejo homeomorfo a una esfera. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir complejos simpliciales con hipergrafos arbitrarios (que no están necesariamente cerrados por subconjuntos), suponer una incrustación geométrica única, o tratar cualquier colección de símplices sin comprobar el cierre por caras como un complejo. ## Consecuencia Consecuencia Los complejos simpliciales proporcionan modelos discretos de espacios topológicos que permiten el cálculo de homología, aproximaciones de homotopía mediante subdivisiones, la característica de Euler y construcciones combinatorias como el nervio y la subdivisión baricéntrica. ## Inversión Inversión Invertir hacia un complejo CW o complejo celular donde las aplicaciones de adhesión no son necesariamente simpliales y el cierre por caras combinatorio se reemplaza por datos de adhesión; o hacia un hipergrafo donde se abandona el cierre por subconjuntos. ## Límite Límite Se aplica a colecciones finitas o localmente finitas de símplices finitos cerradas por caras; excluye complejos celulares arbitrarios, colecciones no cerradas por subconjuntos y estructuras que requieran mapas de adherencia continuos en lugar de caras combinatorias. ## Tensión semántica Tensión semántica Complejo simplicial versus triangulación: un complejo es un objeto combinatorio, una triangulación es un homeomorfismo de la realización geométrica de un complejo sobre un espacio topológico. Frente al hipergrafo: al hipergrafo le falta el cierre por caras. ## Síntesis Síntesis Un complejo simplicial organiza un espacio en símplices y sus caras: conjuntos finitos cerrados por subconjuntos que codifican topología de forma combinatoria, permitiendo invariantes algebraicos y construcciones discretas que aproximan espacios continuos.