## [Rango](/es/node/59220) Definición El rango de una matriz o transformación lineal es la dimensión de su imagen (espacio columna), equivalente al número máximo de columnas o filas linealmente independientes. Mide cuántas direcciones independientes el operador alcanza. ## Principio Principio El rango cuantifica la independencia lineal de las salidas; para una aplicación lineal V→W entre espacios vectoriales de dimensión finita, rango + nulidad = dim(dominio) (teorema rango‑nulidad). ## Demostración Demostración La matriz B = [[1,2,3],[2,4,6]] tiene rango 1 porque la segunda fila es el doble de la primera; el espacio columna es unidimensional. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que el número de entradas no nulas aproxima el rango, o tratar el número de filas como rango sin reducir por filas; o calcular rango sobre anillos donde la teoría de módulos complica la noción de dimensión. ## Consecuencia Consecuencia El rango determina la resolubilidad de sistemas lineales (las soluciones existen si el término derecho está en el espacio columna), indica invertibilidad (rango completo en matrices cuadradas) y controla los grados de libertad en modelos lineales. ## Inversión Inversión La noción opuesta enfatiza la deficiencia: corango o nulidad mide dimensiones perdidas; un operador de rango completo tiene núcleo trivial, mientras las aproximaciones de bajo rango reducen la dimensionalidad. ## Límite Límite Definido para aplicaciones lineales entre espacios vectoriales finitos y mediante generalizaciones (rango de operador, rango tensorial); sobre módulos o en dimensiones infinitas se requieren matices y algunas igualdades fallan. ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con el 'rango tensorial' (descomposición mínima en tensores simples) y con conceptos numéricos como 'rango efectivo'; en contextos matriciales simples coinciden, pero divergen en estructuras más complejas. ## Síntesis Síntesis El rango es la dimensión de la imagen de un operador lineal: un recuento independiente de la base de las direcciones de salida que, junto con la nulidad, reparte la dimensión del dominio y gobierna la resolubilidad e invertibilidad en álgebra lineal finita.