## [Nulidad](/es/node/59222) Definición La nulidad es la dimensión del núcleo (espacio nulo) de una aplicación lineal o matriz: el número de soluciones independientes de la ecuación homogénea A x = 0. ## Principio Principio La nulidad mide los grados de libertad perdidos por una aplicación lineal; combinada con el rango mediante rango + nulidad = dimensión del dominio, divide el dominio en núcleo y un subespacio complementario que se mapea inyectivamente. ## Demostración Demostración Para C = [[1,2],[2,4]] actuando en R^2, el núcleo es de dimensión uno (vectores proporcionales a [-2,1]), por lo que nulidad = 1 y rango = 1. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir nulidad con la dimensión de un complemento ortogonal o asumir que la nulidad es invariante ante cambios arbitrarios de cuerpo sin verificar el contexto algebraico (por ejemplo, módulos sobre anillos). ## Consecuencia Consecuencia La nulidad indica cuántos parámetros libres aparecen en la solución general de sistemas homogéneos y señala la no inyectividad; alta nulidad significa muchas direcciones independientes colapsadas a cero. ## Inversión Inversión La perspectiva inversa es la inyectividad y el rango completo: nulidad cero significa que la aplicación es inyectiva; minimizar la nulidad equivale a maximizar la información independiente preservada por la aplicación. ## Límite Límite Definida claramente en espacios vectoriales de dimensión finita; en dimensiones infinitas la dimensión del núcleo puede ser infinita o requerir aritmética de cardinales; sobre módulos la dimensión del núcleo puede no comportarse como en espacios vectoriales. ## Tensión semántica Tensión semántica Cercana pero distinta de la multiplicidad geométrica de un valor propio: la nulidad es la multiplicidad geométrica del valor propio cero, pero hablar de multiplicidades para valores propios no nulos exige precaución. ## Síntesis Síntesis La nulidad es el recuento de direcciones independientes que una transformación lineal aniquila; junto con el rango proporciona una partición completa de la dimensión del dominio y controla la parametrización de los espacios de soluciones homogéneas.