## [Dimensión](/es/node/59228) Definición El número cardinal de una base de un espacio vectorial; el número mínimo de coordenadas independientes necesarias para representar cualquier vector en ese espacio (cardinal finito o infinito). ## Principio Principio La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño de cualquiera de sus bases; las bases son conjuntos maximalmente linealmente independientes y minimalmente generadores, y todas las bases tienen la misma cardinalidad cuando están definidas. ## Demostración Demostración R^3 tiene dimensión 3 porque la base estándar {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} está formada por tres vectores linealmente independientes que generan R^3. Ejemplo infinito: el espacio de polinomios, con base numerable {1,x,x^2,...}. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar dimensión al número de coordenadas en una representación particular cuando ésta es redundante (conjunto generador no mínimo), o aplicar intuiciones de dimensión finita a espacios infinitamente dimensionales sin atender a bases de Hamel y al Axioma de Elección. ## Consecuencia Consecuencia La dimensión determina los grados de libertad, la forma de las aplicaciones lineales (tamaños de matrices en el caso finito) y muchos invariantes (teorema rango–nucleo, clasificación de espacios vectoriales de dimensión finita). ## Inversión Inversión En lugar de contar direcciones independientes, considerar la codimensión: el número de restricciones lineales independientes que reducen un espacio a un subespacio; se invierten grados de libertad por restricciones. ## Límite Límite Se aplica a espacios vectoriales sobre un cuerpo con noción de independencia lineal. Excluye otras nociones de 'dimensión' como la topológica, de Hausdorff o fractal; en casos infinitos la existencia de una base de Hamel puede depender del Axioma de Elección. ## Tensión semántica Tensión semántica La dimensión algebraica (por base) puede estar en tensión con nociones topológicas o métricas de dimensión (por ejemplo, un espacio de Hilbert infinito frente a su dimensión topológica); la misma palabra designa invariantes distintos según el campo. ## Síntesis Síntesis La dimensión, en sentido algebraico, es la cardinalidad invariante de cualquier base de un espacio vectorial y resume cuántos parámetros independientes se necesitan para especificar un vector, con reservas en escenarios infinitos.