## [Método de la Fase Estacionaria](/es/node/59268) Definición Una técnica asintótica para aproximar integrales con integrandos altamente oscilatorios aislando y desarrollando las contribuciones de los puntos donde la fase oscilatoria tiene derivada nula (puntos estacionarios). ## Principio Principio Cuando una integral oscilatoria contiene un parámetro grande multiplicando una fase suave, los vecindarios de los puntos donde la derivada de la fase se anula contribuyen coherentemente y dominan la integral; las contribuciones alejadas de esos puntos se cancelan por oscilación rápida. ## Demostración Demostración Para I(k)=∫ a(x) e^{i k φ(x)} dx con k→∞ y φ'(x0)=0, expandir φ y a cerca de x0 y evaluar integrales de tipo gaussiano conduce a términos asintóticos principales proporcionales a k^{-m/2} (m depende de la no degeneración). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la aproximación de fase estacionaria cuando los puntos estacionarios no están aislados, la fase no es suave o la amplitud a(x) tiene singularidades en el punto estacionario; estas situaciones pueden producir estimaciones cualitativamente incorrectas. ## Consecuencia Consecuencia Una serie asintótica controlada que ofrece el comportamiento dominante y (a menudo) correcciones sucesivas al aumentar el parámetro grande; útil para predecir escalas y patrones oscilatorios pero no valores exactos en parámetros moderados. ## Inversión Inversión Invertir al régimen sin una fase grande: entonces la integral queda gobernada por la forma global del integrando en lugar de por puntos estacionarios aislados y requiere otras aproximaciones (por ejemplo, integración numérica directa o métodos tipo Laplace). ## Límite Límite Válida cuando la fase φ y la amplitud a son suficientemente lisas, los puntos estacionarios son no degenerados o se tratan con expansiones degeneradas conocidas, y un parámetro grande multiplica la fase; excluye muchos casos singulares, no diferenciables o con muchos puntos estacionarios. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se confunde con métodos de descenso más pronunciado (puntos de silla); la fase estacionaria es una visión en el eje real centrada en φ'(x)=0, mientras que el descenso pronunciado enfatiza la deformación de contorno en el plano complejo y la decadencia exponencial a lo largo de trayectorias seleccionadas. ## Síntesis Síntesis El método de la fase estacionaria identifica puntos estacionarios de una fase suave en integrales oscilatorias y construye expansiones locales allí; bajo regularidad y la hipótesis de un parámetro grande proporciona las contribuciones asintóticas dominantes y una jerarquía de correcciones, pero debe adaptarse o abandonarse si fallan las hipótesis.