##  [Descomposición QR](/es/node/59280) 

 Definición

Una factorización matricial A = Q R donde Q es ortogonal (o unitaria) y R es triangular superior; existen variantes completas y reducidas (thin). Se usa para resolver sistemas lineales, problemas de mínimos cuadrados y como componente en algoritmos numéricos de valores propios.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Separar una matriz en una base ortonormal (Q) que cambia de coordenadas y un factor triangular (R) que da las coordenadas de las columnas originales en dicha base; la ortogonalidad de Q preserva la norma y estabiliza los cálculos.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para resolver min ||Ax - b||, calcule A = QR, entonces R x = Q^T b (o R x = Q^* b en el caso complejo) y resuelva el sistema triangular por sustitución hacia atrás. Numéricamente, QR se obtiene mediante reflectores de Householder, rotaciones de Givens o procedimientos de Gram–Schmidt.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar Gram–Schmidt clásico sin reorthogonalización en matrices mal condicionadas puede producir una Q muy no ortogonal y una R inexacta. Suponer unicidad de Q y R sin fijar signo/fase o sin pivotar puede inducir a error, especialmente si A tiene rango deficiente.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona métodos numéricamente estables para resolver mínimos cuadrados y ortonormalizar columnas; produce descomposiciones aptas para otros procedimientos numéricos como el cálculo de valores propios y factorizaciones que revelan rango.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Usar LU cuando una factorización triangular por triangular sea aceptable (para matrices cuadradas y con pivotado), o usar la descomposición en valores singulares (SVD) cuando se necesita ortogonalidad explícita e información sobre el rango.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a matrices sobre espacios reales o complejos con producto interior; Q es única solo hasta signos/fases en las columnas cuando R no tiene ceros en la diagonal. QR no se aplica directamente a operadores no lineales o a operadores en dimensión infinita sin extensión funcional-analítica.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

‘QR’ como factorización frente a ‘Gram–Schmidt’ como proceso — QR es la identidad matricial mientras que Gram–Schmidt es la ruta procedimental que puede ser inestable sin modificaciones.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La descomposición QR expresa una matriz como un cambio de base ortonormal seguido de una transformación triangular superior; implementada de forma estable por Householder o Givens, es fundamental para resolver problemas lineales y muchos algoritmos numéricos de álgebra lineal.