##  [Punto Crítico Degenerado](/es/node/59319) 

 Definición

Punto crítico (estacionario) de una función o equilibrio de un sistema dinámico en el que la Hessiana (para funciones suaves de dimensión finita) o la linealización (para sistemas dinámicos) deja de ser no degenerada (determinante cero o autovalores nulos), por lo que no se aplica la clasificación cuadrática estándar (teoría de Morse, estabilidad lineal).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Cuando el término cuadrático dominante se anula, el comportamiento local queda controlado por términos de orden superior, variedades invariantes y la estructura de bifurcaciones; los puntos críticos degenerados son lugares donde falla la clasificación genérica y requieren formas normales, la variedad central o teoría de singularidades para resolverse.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo de función: f(x,y)=x^3 - y^2 tiene un punto crítico en (0,0) cuya Hessiana es degenerada; el término cúbico controla la topología. Ejemplo dinámico: una bifurcación de nodo-silla crea un equilibrio con un autovalor cero en la linealización, produciendo un equilibrio no hiperbólico (degenerado) que requiere reducción por la variedad central.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el lema de Morse o conclusiones de estabilidad lineal en un punto crítico degenerado (por ejemplo declarar estabilidad o índice a partir del signo de la Hessiana cuando ésta es singular), o tratar la degeneración como ruido numérico en lugar de una característica estructural que puede señalar una bifurcación.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Es necesario analizar términos de mayor orden, usar formas normales y teoría de la variedad central, y esperar posibilidades como bifurcaciones, inestabilidad estructural o dinámica lenta; la degeneración suele señalar valores de parámetros donde ocurren cambios cualitativos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Punto crítico no degenerado (de Morse): la Hessiana es invertible (no hay autovalores nulos), lo que permite clasificación local por índice, forma normal cuadrática y persistencia robusta frente a pequeñas perturbaciones.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

La definición presupone regularidad suficiente (típicamente C^2 o superior); en entornos de dimensión infinita la 'Hessiana' y la 'linealización' son operadores y la degeneración espectral requiere un tratamiento funcional-analítico; se excluyen problemas no diferenciables.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre 'degenerado' como fallo técnico de no degeneración y usos coloquiales que implican casos patológicos o despreciables; matemáticamente, la degeneración suele ser relevante, marcando puntos de bifurcación más que un simple accidente.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un punto crítico degenerado es aquel en que la aproximación cuadrática (lineal) se anula o no es invertible, obligando a recurrir a expansiones de orden superior, reducciones por variedades invariantes y análisis de bifurcaciones para determinar la topología y dinámica local que no pueden deducirse solo de la Hessiana o la linealización.