## [Divergencia (No Convergencia)](/es/node/59325) Definición El comportamiento de una sucesión, serie, método iterativo o algoritmo que no consigue aproximarse a un límite finito o a la solución prevista; la divergencia puede manifestarse como crecimiento no acotado, oscilación persistente sin asentamiento o convergencia a un atractor equivocado. ## Principio Principio La convergencia requiere que los elementos formen una sucesión de Cauchy (o que se cumplan condiciones de contracción/monotonía en esquemas iterativos) en la norma o topología escogida; el fallo de esas condiciones, una elección inadecuada del tamaño de paso, un mapeo de punto fijo incorrecto o una discretización inestable pueden provocar divergencia. ## Demostración Demostración Ejemplo de series: la serie armónica sum_{n} 1/n diverge (las sumas parciales crecen sin límite). Ejemplo iterativo: la iteración de punto fijo x_{k+1}=g(x_k) con |g'(x*)|>1 en el punto fijo conduce a la divergencia. Optimización: el descenso por gradiente con paso demasiado grande puede divergir hacia infinito. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Etiquetar como divergencia una convergencia muy lenta, o interpretar como divergencia el crecimiento transitorio o el ciclo antes de la convergencia asintótica; no comprobar si la no convergencia observada se debe a error de modelado, discretización o reglas de parada. ## Consecuencia Consecuencia Diagnosticar la causa (falta de contracción, tamaño de paso, mal condicionamiento, error de discretización), ajustar el método (reducir pasos, amortiguar, precondicionar), cambiar de algoritmo (usar solucionadores alternativos o estrategias de globalización), o reformular el problema para restaurar la convergencia. ## Inversión Inversión Convergencia: la sucesión o método se aproxima a un límite o solución bien definidos dentro de la tolerancia y topología especificadas, a menudo garantizada por contracción, teoría de operadores monotónicos o coercividad. ## Límite Límite La divergencia es distinta de la convergencia condicional o de la no convergencia absoluta (las series que convergen condicionalmente no son divergentes) y depende de la topología y la norma; el comportamiento bajo discretización o en precisión finita puede diferir del marco teórico de precisión infinita o dimensión infinita. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la divergencia como no convergencia matemática y los modos de fallo prácticos (inestabilidad numérica, mal condicionamiento, estancamiento algorítmico); diagnosticar cuál fenómeno ocurre es crítico porque los remedios difieren. ## Síntesis Síntesis La divergencia denota la incapacidad de aproximarse al límite previsto —manifestada como crecimiento no acotado, oscilación sostenida o convergencia a un estado no deseado— causada por violaciones de la contracción, parametrización pobre o inestabilidad; resolver la divergencia requiere diagnosticar su origen y aplicar cambios adecuados en método, parámetros o modelo.